Le Lambda Calcul... en express

Mon, 5 Feb 2007 01:37:08 +0100

Le Lambda Calcul en moins de 5 (?) minutes... (QUICK DRAFT)

Introduction

Le lambda calcul est un langage de programmation fonctionnel Turing-complet. Il sert à comprendre certains fondements de la programmation.

Syntaxe

Il existe plusieurs syntaxes pour ce langage. En voici une...

Variable

Une variable est un mot composé de lettres. En général on limite les lettres de l'alphabet (a à z). Certaines syntaxes proposent que les noms de variables tiennent sur un seul caractère.

Abstraction

\ et . permettent de définir une abstraction. Équivalents Objective Caml : mots-clef fun et -> (c'est un choix arbitraire ! Si la touche λ (il y a marqué la lettre grecque lambda, je précise pour ceux qui ne peuvent pas afficher les lettres grecques) était disponible sur le clavier de tout le monde, on utiliserait cette lettre à la place de \ ou de ,\ etc.)

exemple : \x.x

Application

( et ) Les parenthèses permettent de définir l'application. Équivalents Objective Caml : c'est la même chose. Sauf qu'en Objective Caml les parenthèses ne sont pas toujours obligatoires.

exemple : (a b)

Remarque

Rappelons que cette syntaxe est une syntaxe parmi d'autres. Ensuite, notons qu'il est utile d'autoriser les parenthèses autour des définitions d'abstractions. Notons également qu'il est prudent d'imposer les parenthèses autour des applications. (tout ça dans le but de simplifier l'analyse syntaxique)

Limiter les variables à un seul caractère permet d'écrire \xzy.(x y z)

Exemples

Lambda-Calcul	Objective Caml
\x.x	fun x -> x
(a b)	(a b)
((\x.x) 42)	(fun x -> x) 42
(\x.x 42) Attention, cette notation peut souvent signifier autre chose avec une autre syntaxe	(fun x -> x) 42
(\x y z. x z y) (\x.x) (\x.(x 42)) (\y z.(y z))	(fun x y z -> x y z) (fun x -> x) (fun x -> x 42) (fun y z -> y z)

Si vous avez compris ça, vous avez compris la syntaxe du lambda-calcul...

Structures de données

Le lambda-calcul permet de représenter des données avec des fonctions ! (il le faut bien, puisqu'il est Turing-complet)

Booléens

Voici un codage possible des booléens, parmi d'autres !

Valeur représentée	Codage
TRUE	\x y.x
FALSE	\x y.y
IFTHENELSE	\x y z.(x y z)
IFTHENELSE COND A B	(\x y z.(x y z)) COND A B

Choix de codage

Le codage des booléens proposé ci-dessus est arbitraire. En BASH, le code de retour 0 signifie que l'application a bien terminé. Ce qui correspond à TRUE. En C, 0 est équivalent à FALSE, et tous les autres entiers sont équivalents à TRUE. En Lambda-Calcul, vous avez le choix puisque c'est un langage un peu "vide"... en revanche il vous permet de coder n'importe quelle donnée (mais à vous de définir la représentation et les opérations associées à ces données)

Alpha conversion

Deux lambda-termes sont alpha-équivalents signifie qu'ils calculent exactement la même chose.

Par exemple :

\x.x et \y.y calculent exactement la même chose.

\a.(a b) et \a.(a c) ne calculent pas forcément exactement la même chose. Il faut prouver que b et c sont pareils pour pouvoir dire que les deux termes sont alpha-équivalents

Beta réduction

La beta-reduction, c'est pour réduire (attention parfois ça agrandi...) les lambda-termes. S'il existe une beta-réduction qui permet de passer d'un terme A à un terme B, alors A et B calculent la même chose.